В существительном «берёзонька» написание безударной «е» в корне необходимо запомнить, ударением не проверяется, словарное слово; пишется суффикс «оньк», потому что стоит после парной твердой согласной; «ё» под ударением, проверки не требуется.
Примеры на орфограмму:
Зубоньки (суффикс «оньк» после твердой согласной).
Лисонька (суффикс «оньк» после твердой согласной).
Кисонька (суффикс «оньк» после твердой согласной).
Лизонька (суффикс «оньк» после твердой согласной).
Веронька (суффикс «оньк» после твердой согласной).