1. Упростим выражение: 2tg(a)/(1 + tg²(a)) * 2cos(2a). Используем тригонометрические тождества. Зная, что tg(a) = sin(a)/cos(a) и cos(2a) = cos²(a) - sin²(a), можно переписать выражение. Однако, выражение можно упростить, зная, что 1 + tg²(a) = 1/cos²(a). Подставляя это, мы получаем: 2tg(a) * 2cos(2a)/(1 + tg²(a)) = 4tg(a)cos(2a)/(1 + tg²(a)) = 4sin(a)cos(a)(cos²(a) - sin²(a)). Таким образом, окончательное упрощенное выражение будет 4sin(a)cos(a)(cos²(a) - sin²(a)). 2. Найдем sin(a), cos(a) и ctg(a), если ctg(a/2) = 2. Используем формулу для ctg(a/2): ctg(a/2) = (1 + cos(a))/(sin(a)). Пусть ctg(a/2) = 2: 2 = (1 + cos(a))/sin(a). Переписываем уравнение: 2sin(a) = 1 + cos(a). Теперь мы имеем соотношение между sin(a) и cos(a). Используем основное тригонометрическое тождество sin²(a) + cos²(a) = 1. Подставляем выражение для cos(a) из полученного уравнения: cos(a) = 2sin(a) - 1. Теперь подставим это значение в тождество: sin²(a) + (2sin(a) - 1)² = 1. Раскроем скобки и упрощаем: sin²(a) + (4sin²(a) - 4sin(a) + 1) = 1. 5sin²(a) - 4sin(a) + 1 = 1. Убираем единицу: 5sin²(a) - 4sin(a) = 0. Выносим sin(a) за скобки: sin(a)(5sin(a) - 4) = 0. Значит, либо sin(a) = 0, что не подходит, или 5sin(a) - 4 = 0: sin(a) = 4/5. Теперь найдем cos(a): cos(a) = √(1 - sin²(a)) = √(1 - (4/5)²) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5. Наконец, найдем ctg(a): ctg(a) = cos(a)/sin(a) = (3/5) / (4/5) = 3/4. Таким образом, sin(a) = 4/5, cos(a) = 3/5 и ctg(a) = 3/4.
