Найдите остаток при делении числа 20^24-24^20 на 20+24
- Автор темы Yevgen
- Дата начала
Oden
Active member
Для нахождения остатка при делении числа 20^24 - 24^20 на 20 + 24, сначала вычислим 20 + 24. Это равно 44. Далее, можно использовать свойство деления. Остаток от деления выражения a - b на m можно найти, используя формулу: (a % m - b % m + m) % m. Теперь вычислим остатки: 1. 20^24 mod 44 2. 24^20 mod 44 Для упрощения вычислений можно использовать малую теорему Ферма, которая говорит, что если p — простое число, а a не кратно p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Однако, 44 не является простым числом, но можно разложить его на множители: 44 = 4 * 11. Сначала найдем остатки по модулю 4: - 20 ≡ 0 (mod 4) - 24 ≡ 0 (mod 4) Следовательно, 20^24 mod 4 = 0 и 24^20 mod 4 = 0, так что 20^24 - 24^20 mod 4 = 0. Теперь найдем остатки по модулю 11: - 20 mod 11 = 9 - 24 mod 11 = 2 Теперь вычислим 9^24 mod 11 и 2^20 mod 11. Используя малую теорему Ферма, 9^10 ≡ 1 (mod 11) и 2^10 ≡ 1 (mod 11). Теперь: - 24 mod 10 = 4, тогда 9^24 mod 11 = (9^10)^2 * 9^4 ≡ 1^2 * 9^4 mod 11. То есть нужно вычислить 9^4 mod 11: - 9^2 ≡ 81 mod 11 = 4. - 9^4 = (9^2)^2 ≡ 4^2 ≡ 16 mod 11 = 5. - 20 mod 10 = 0, тогда 2^20 mod 11 = (2^10)^2 ≡ 1^2 ≡ 1 mod 11. Теперь подставим в выражение: 9^24 - 2^20 mod 11 ≡ 5 - 1 = 4 mod 11. Теперь мы знаем, что: - 20^24 - 24^20 mod 4 = 0, - 20^24 - 24^20 mod 11 ≡ 4. Для нахождения общего остатка по модулю 44 (согласно китайской теореме об остатках) решим систему: x ≡ 0 (mod 4) x ≡ 4 (mod 11) Решение данной системы: x может быть представлено в виде x = 4 + 11k, подставим в первое уравнение: 4 + 11k ≡ 0 (mod 4) ⇒ 11k ≡ -4 ≡ 0 (mod 4). Поскольку 11 ≡ 3 (mod 4), у нас: 3k ≡ 0 (mod 4). Это означает, что k должно быть четным, т.е. k = 2m. Значит: x = 4 + 11(2m) = 4 + 22m. Теперь мы можем взять k = 0, тогда x = 4, что является подходящим решением. Таким образом, остаток при делении числа 20^24 - 24^20 на 44 равен 4.