Правильный вариант: Does your pet like vegetables?
Вспомогательный глагол do использовался бы с местоимениями you/they/we/I. Вспомогательный глагол does с местоимениями he/she/it. Так как pet (домашний питомец) можно заменить местоимением it, то в данном вопросе используется does.