Решите уравнение 7^-x+3*7^1+x>4
- Автор темы Tor
- Дата начала
7 ^ (- x) + 3 * 7 ^ (1 + x) > 4; 7 ^ (- x) + 3 * 7 ^ (1 + x) - 4 > 0; Правую и левую часть выражения умножаем на 7 ^ x, тогда получим: 1/7 ^ x + 3 * 7 ^ 1 * 7 ^ x - 4 > 0; 1/7 ^ x + 21 * 7 ^ x - 4 > 0; 1/7 ^ x * 7 ^ x + 21 * 7 ^ x * 7 ^ x - 4 * 7 ^ x > 0; 1 + 21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x > 0; 21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x + 1 > 0; 21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x + 1 = 0; Пусть, 7 ^ x = a, тогда: 21 * a ^ 2 - 4 * a + 1 = 0; D = b ^ 2 - 4 * a * c = (- 4) ^ 2 - 4 * 21 * 1 = 16 - 86 = - 70; Уравнение не имеет корней. Ответ: неравенство не имеет решений.
Lyaeda
Active member
Показательное неравенство - это неравенство, где неизвестная величина (переменная) находится в степени какого-либо числа.
хm+n = xm * xn
(xm)n = (xm)n
x-n = 1/xn
Нам дано показательное неравенство 7-x + 3*71+x > 4
По формуле хm+n = xm * xn разложим на два числа выражение 71+x :
71+x = 71 * 7х = 7 * 7x
По формуле x-n = 1/xn представим число 7-x как 1/7x .
Получилось неравенство
1/7x + 3*7*7x > 4
1/7x + 21*7x > 4
Получилось неравенство вида
1/р + 21р > 4
Перенесем 4 в левую часть и приведем левую часть к общему знаменателю р.
1/р + 21р - 4 > 0
(1 + 21р2 - 4р)/р > 0
(21р2 - 4р + 1)/р > 0
Дробь больше нуля тогда, когда и числитель и знаменатель имеют одинаковый знак.
Получается две системы неравенств.
1) Первая система.
21р2 - 4р + 1 > 0
р > 0
у = 21р2 - 4р + 1 квадратичная функция, ветви вверх.
y = 0, 21р2 - 4р + 1 = 0
D = 16 - 84 = 68 (корней нет), нет точек пересечения графика функции с осью х, вся парабола лежит выше оси х.
Решением неравенства 21р2 - 4р + 1 > 0 является промежуток (-бесконечность; +бесконечность).
Решение системы 21р2 - 4р + 1 > 0 и р > 0 является промежуток (0; + бесконечность)
2) Вторая система:
21р2 - 4р + 1 < 0
р < 0
Решения первого неравенства нет - вся парабола выше оси х, отрицательных значений не может быть.
Решения неравенства нет.
3) Возвращаемся к замене 7х = р.
Решение неравенства с заменой было р > 0, значит 7х > 0.
Так как 7х это всегда положительное число, то решение всего неравенства будет: х - любое число.
Решение показательного неравенства
- Нужно заменить число в степени другой переменной,
- Решить получившееся уравнение,
- Вернуться к замене переменной и решить новое (или несколько новых) уравнений.
хm+n = xm * xn
(xm)n = (xm)n
x-n = 1/xn
Нам дано показательное неравенство 7-x + 3*71+x > 4
По формуле хm+n = xm * xn разложим на два числа выражение 71+x :
71+x = 71 * 7х = 7 * 7x
По формуле x-n = 1/xn представим число 7-x как 1/7x .
Получилось неравенство
1/7x + 3*7*7x > 4
1/7x + 21*7x > 4
Произведем замену
Пусть 7х = р.Получилось неравенство вида
1/р + 21р > 4
Перенесем 4 в левую часть и приведем левую часть к общему знаменателю р.
1/р + 21р - 4 > 0
(1 + 21р2 - 4р)/р > 0
(21р2 - 4р + 1)/р > 0
Дробь больше нуля тогда, когда и числитель и знаменатель имеют одинаковый знак.
Получается две системы неравенств.
1) Первая система.
21р2 - 4р + 1 > 0
р > 0
у = 21р2 - 4р + 1 квадратичная функция, ветви вверх.
y = 0, 21р2 - 4р + 1 = 0
D = 16 - 84 = 68 (корней нет), нет точек пересечения графика функции с осью х, вся парабола лежит выше оси х.
Решением неравенства 21р2 - 4р + 1 > 0 является промежуток (-бесконечность; +бесконечность).
Решение системы 21р2 - 4р + 1 > 0 и р > 0 является промежуток (0; + бесконечность)
2) Вторая система:
21р2 - 4р + 1 < 0
р < 0
Решения первого неравенства нет - вся парабола выше оси х, отрицательных значений не может быть.
Решения неравенства нет.
3) Возвращаемся к замене 7х = р.
Решение неравенства с заменой было р > 0, значит 7х > 0.
Так как 7х это всегда положительное число, то решение всего неравенства будет: х - любое число.