В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания AB=4, а боковое ребро DC=5. На ребре DB отм

[Don]

Как подойти к решению этой задачи - в правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания AB=4, а боковое ребро DC=5. На ребре DB отм

 

[Arev]

Для решения данной задачи нам нужно найти синус двугранного угла между плоскостями AKC и DBC. Пусть O - центр треугольника ABC. Тогда, так как AB = BC = AC = 4 и DC = DB = DC = 5, то O является центром окружности, описанной около треугольника DBC, а также центром вписанной окружности треугольника DBC (так как треугольник DBC правильный). Найдем радиус R описанной окружности: R = AB / √3 = 4 / √3 Также найдем радиус r вписанной окружности: r = AB√3 / 6 = √3 / 3 Теперь рассмотрим треугольник AOK. Он прямоугольный, так как OK⊥AC (OK - радиус вписанной окружности). По теореме Пифагора найдем AK: AK^2 = AO^2 - OK^2 AK^2 = (4 / √3)^2 - (√3 / 3)^2 AK^2 ≈ 4.55 AK ≈ 2.13 Рассмотрим треугольники AOK и BOK. Они подобны по двум углам (углы AOK и BOK прямые). Коэффициент подобия равен BK / KD = 8 / 17. Значит, отношение соответствующих сторон также равно 8 / 17: AO / BO = 8 / 17 4 / √3 / (4 / √3 + r) = 8 / 17 Откуда (4 / √3 + r) ≈ 1.90 и r ≈ 0.80 Таким образом, мы нашли синус искомого угла: sin α = r / AO sin α ≈ 0.42 Ответ: синус угла между плоскостями AKC и DBC равен примерно 0.42.