В треугольнике ABC известно, что угол С= 90*, угол А=30*, отрезок BM- биссектриса треугольника. найд

[Lal]

Поделитесь, пожалуйста, идеями по решению задачи - в треугольнике ABC известно, что угол С= 90*, угол А=30*, отрезок BM- биссектриса треугольника. найд

 

[Стрым]

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3JCzt6Y).
В прямоугольном треугольнике сумма его острых углов равна 900, тогда угол АВС = (90 – ВАС) = (90 – 30) = 600.
По условию, ВМ биссектриса угла АВС, тогда угол СВМ = АВМ = АВС / 2 = 60 / 2 = 300.
Тогда треугольник АВМ равнобедренный, АМ = ВМ = 6 см, а угол АМВ = 180 – 30 – 30 = 1200.
По теореме косинусов, в треугольнике АВМ, определим длину стороны АВ.
AB^2 = AM^2 + BM^2 – 2 * AM * BM * Cos120 = 36 + 36 – 2 * 6 * 6 * (-1/2) = 72 + 36 = 108;
AB = 6 * √3 см.
В прямоугольном треугольнике АВС, CosBAC = AC / AB.
AC = AB * Cos30 = 6 * √3 (√3/2) = 3 * 3 = 9 см.
Ответ: Длина катета АС равна 9 см.