В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причем угол CMD острый. Докажите, DE болеше DM
- Автор темы Vii
- Дата начала
Для доказательства рассматриваем треугольник МDЕ , который получился внутри треугольника СDЕ . Так как угол DМС острый, то смежный с ним угол DМЕ тупой , то есть больше 90 градусов. Теперь рассматриваем треугольник МDЕ в части , какие стороны лежат против каких углов. Сторона DЕ лежит против тупого угла DМЕ , который мы уже рассмотрели.Сторона МD находится против острого угла DЕМ ( так как два тупых угла в треугольнике МDЕ быть не может. Вспомним правило : большая сторона в треугольнике находится против большего угла . Значит , сторона DЕ , находящаяся против большего угла DМE больше стороны МD , лежащей против острого угла МЕD.
YuraU
Active member
Чертим произвольный треугольник CDE с точкой М согласно условию задачи
Чтобы чертеж соответствовал условию задачи, можно начать с построения треугольника CDM:- чертим треугольник CDM, у которого угол CMD острый;
- продлеваем сторону СМ на любое расстояние и ставим точку Е;
- соединяем отрезком точки Е и D.
Докажем что отрезок DE больше отрезка DM
Поскольку оба отрезка (DE и DM) являются сторонами треугольника DEM, то нужно подробнее проанализировать именно его.Поскольку точка М расположена на отрезке СЕ, то углы СМD и DME вместе составляют развернутый угол СМЕ, который равен 180 градусов. По условию задачи угол СМD острый, допустим, он равен а градусов. Острый угол означает, что а<90 градусов. Значит,
угол DME = 180 – угол СМD = 180 – а.
Так как а < 90, то (180 - а) > 90. Следовательно, Угол DME тупой.
По свойству треугольника сумма всех его сторон равна 180 градусов, тогда:
Угол MDE + Угол DEM + Угол DME = 180;
Угол MDE + Угол DEM + (180 - а) = 180;
Угол MDE + Угол DEM = 180 - (180 - а) = а.
Из последнего равенства следует, что углы MDE и DEM оба острые, а значит каждый из них меньше угла DME.